A

p

e

r

s

o

n

a

l

B

l

o

g

Transferzeit

Hohmann-Transfer

Dieser Eintrag beschreibt die Zeit auf einem Hohmann-Transfer zwischen zwei Kreisbahnen um einen Zentralkörper und ist im Weiteren auch für einen Bi-elliptischen-Transfer interessant. Die Bahn für den Transfer ist dabei immer eine Ellipse mit der großen Halbachse $a = \frac{r_1 + r_2}{2}$ Dabei ist $r_1$ Radius der inneren Kreisbahn und $r_2$ Radius der äußeren Bahn.

Die Frage nach der Transferzeit $T$ auf einer Ellipse kann durch das 3. Keplersche Gesetz beantwortet werden. Nachdem gilt: Die Periode der quadratischen Umlaufzeit auf einer Ellipsenbahn ist proportional zu der dritten Potenz der Halbachse $a$:

\begin{equation}\label{eq:test} T^2\sim a^3\quad\Leftrightarrow\quad T^2 = c\cdot a^3,\quad c\in\mathbb{R}\end{equation}

Da die Halbachse bereits bestimmt wurde, muss hier noch der Proportionalitätsfaktor $c$ bestimmt werden.

Dieser wird hier durch eine möglichst einfache Ellipse bestimmt. Die Ausgangskreisbahn umkreist den gleichen Zentralkörper mit der Masse $M$ wie auch die Transfer-Ellipse somit ergibt sich die gleiche Konstante. Für die gilt:

\begin{equation}\label{eq:kreisbahn} T^2\sim r^3\quad\Leftrightarrow\quad T^2 = c\cdot r^3,\quad c\in\mathbb{R}\end{equation}

Damit sich ein Körper auf einer Kreisbahn befindet müssen sich Zentripetalkraft und Gravitationskraft ausgleichen. Da die Vektoren stets in entgegengesetzte Richtung zeigen, sind hier nur die Beträge wichtig:

\begin{equation}F_z = F_g\quad\Leftrightarrow\quad m\frac{v^2}{r} = \gamma\frac{M\cdot m}{r^2},\quad\gamma\in\mathbb{R}\end{equation}

$\gamma$ ist die Gravitationskonstante. Damit ergibt sich die Kreisbahngeschwindigkeit:

\begin{equation}\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{\gamma\cdot M}{r}}\end{equation}

Mit dem Kreisumfang $2\cdot r\cdot\pi$ für die gesamte Strecke einer Periode ergibt sich dann die Zeit $T$ nach $v = \frac{2\cdot r\cdot\pi}{T}$ mit dem gewöhnlichen Weg-Zeit-Gesetz. Die Konstante $c$ kann resultierend in $\eqref{eq:kreisbahn}$ aufgelöst werden:

\begin{equation}T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot r^3}{\gamma\cdot M}\quad\Rightarrow\qquad c = \frac{4\cdot\pi^2}{\gamma\cdot M}\end{equation}

Damit ist für die ursprüngliche Transfer-Ellipse $\eqref{eq:test}$, mit der großen Halbachse $a = \frac{r_2 + r_1}{2}$ und dem Wert für $c$, die Periode gegeben:

\begin{equation}T^2 = c\cdot a^3\quad\Leftrightarrow\quad T^2 = \frac{4\cdot\pi^2}{\gamma\cdot M}\cdot \frac{(r_2 + r_1)^3}{8}\end{equation}

Da die Transfer-Ellipse nur aus einer halben Ellipse besteht, wird hier auch nur die Hälfte der Periode genommen:

\begin{equation}T = \pi\sqrt{\frac{(r_2 + r_1)^3}{2\cdot\gamma\cdot M}} ,\quad T_{1/2} = \pi\sqrt{\frac{(r_2 + r_1)^3}{8\cdot\gamma\cdot M}}\end{equation}

Damit ist die Transferzeit $ T_{½} $ gegeben.

Hintergrund ist, dass diese Transferzeit auch für den Bi-elliptischen Transfer erweitert werden kann und dass die ESA in einem Video „Soyuz rendezvous and docking explained“ den Flug zur ISS mit jenem Manöver beschreibt.