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Fuchsberg

Hier möchte ich meinen Weg zur Arbeit diskutieren. Der Weg lässt sich in zwei Teile gliedern. Der erste Teil mit dem Fahrrad der zweite Zeit mit einem Bus. Interessant ist hier der erste Teil—der mit dem Fahrrad.

Fuchsberg

Dieser beinhaltet eine Bergfahrt. Die Frage ist nun: Welche potentielle Energie bei der Auffahrt gewonnen wird bzw. wie viele Kalorien dabei umgewandelt werden.

Da der Rückweg bergab führt, wird die gewonnene Energie wieder abgegeben. Oder auch: $ \oint F\cdot ds = 0$. Das Kraftfeld ist konservativ!

Kräfte die durch Reibung entstehen (etwa Luftwiderstand), werden ignoriert. Da mir die Höhe des Berges nicht bekannt ist, ist eine Messreihe unumgänglich.

Gemessen wird die Steigung $\varphi_{j\in\mathbb{N}}$—während des 700m langen Anstiegs an vier verschiedenen Punkten—mittels eines Pendels.

Diese 4 diskreten Punkte werden mit einem Lagrange-Polynom 3-grades verbunden und bilden eine kontinuierliche Kurve $C:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2 $ im Raum.

Das Kraftfeld ist konstant $F = (0, m\cdot g)$. Es ergibt sich:

\begin{equation}W_{2,1} = \int_{C}F\cdot\,ds\end{equation}

Die Steigung $\varphi(t)$ wird nach Messung durch folgendes Polynom angenommen:

\begin{equation}\varphi(t) = \frac{t^3}{26250000}-\frac{3\cdot t^2}{25000}+\frac{433\cdot t}{5250}\end{equation}
Fuchsberg-Plot

Kein Höhenprofil sondern ein Steigung-Weg Diagramm.

Die Strecke t wird in einen x- und y-Teil zerlegt. Entscheidend ist hier, dass die Gravitationskraft nur auf die y-Komponente wirkt.

Die Kurve ist mit $0 \le t\le 700$:

\begin{equation}\binom{x}{y} = \binom{t\cdot\cos(\varphi(t))}{t\cdot\sin(\varphi(t))} = \ \binom{c_x(t)}{c_y(t)} = c(t)\end{equation}

Insgesamt ergibt sich folgendes Kurvenintegral zweiter Art:

\begin{equation}W_{2,1} = \int_C F\cdot\dot c(t)\,dt = \int_0^{700}\binom{0}{m\cdot g}\cdot\binom{\dot c_x(t)}{\dot c_y(t)}\,dt\end{equation}
\begin{equation}W_{2,1} = m\cdot g\int_0^{700}\dot c_y(t)\,dt = c_y(t)\,|^{700}_{0}\end{equation}

Damit ergibt sich als Lösung $W_{2,1}\approx 100kJ$ und ($100kJ\approx 24kcal$). Jetzt ist noch die Höhendifferenz des Berges zu bestimmen. Hier wird der Ansatz eines wegunabhängigen Feldes genommen:

\begin{equation}W_{2,1} = W_2 - W_1 = m\cdot g\cdot\Delta h\quad\Leftrightarrow\quad\frac{W_2 - W_1}{m\cdot g} = \Delta h\end{equation}

Ergebnis: Δh = 146m.

\begin{equation}\hbox{Konstanten:}\quad g = 9.81\frac{m}{s^2},\quad m = 70kg\end{equation}