A

p

e

r

s

o

n

a

l

B

l

o

g

Orthogonale Operatoren

Hier geht es um reelle und endlichdimensionale Skalarprodukträume. Ein Beispiel—das sich aber leicht erweitern lässt—gibt es für den R2. Eine wichtige Eigenschaft ist:

A* = A-1 und  A*A = I
und für reelle Operatoren: AT = A-1 und ATA = I

Gebraucht werden ein linearer orthogonaler oder unitärer Operator A und zwei Vektoren x, y:

A: E → F und x,y ∈ R2

Orthogonale Operatoren sind isometrisch, also längenerhaltend:

||Ax||2 = (Ax, Ax) = (A*Ax, x) = (x, x) = ||x||2

Außerdem gilt die Winkeltreue:

(Ax, Ay) = (A(x1ex + x2ey), A(y1ex + y2ey)) = (x1Aex + x2Aey, y1Aex + y2Aey) =
         = x1y1(Aex, Aex) + x2y2(Aey, Aey) = x1y1(A*Aex, ex) + x2y2(A*Aey, ey) = 
         = x1y1(ex, ex) + x2y2(ey, ey) = x1y1 + x2y2 = (x, y)

Ein Anwendungsbeispiel ist z.B. die Lorentz-Transformation mit der Zeit und Raum ineinander umgewandelt werden können.